Wojskowa Akademia Techniczna - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Analiza matematyczna I

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: WTCNXCSI-AM
Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (brak danych)
Nazwa przedmiotu: Analiza matematyczna I
Jednostka: Wydział Cybernetyki
Grupy:
Punkty ECTS i inne: (brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Forma studiów:

stacjonarne

Rodzaj studiów:

I stopnia

Rodzaj przedmiotu:

obowiązkowy

Forma zajęć liczba godzin/rygor:

W 48 /x, C 58 /x, L / 0, P / 0, S / 0, Razem: 106

Przedmioty wprowadzające:

Nazwa przedmiotu / wymagania wstępne

Matematyka ze szkoły średniej. / Student powinien znać pojęcia, określenia i symbole matematyczne oraz elementarne metody rachunkowe objęte podstawą programową z matematyki w zakresie rozszerzonym z logiki, teorii zbiorów, planimetrii, stereometrii, trygonometrii, geometrii analitycznej, funkcji elementarnych, ciągów liczbowych i probabilistyki.

Algebra z geometrią (ze studiów I stopnia) / Student powinien znać: liczby rzeczywiste i zespolone, podstawowe pojęcia, określenia i twierdzenia algebry liniowej i geometrii analitycznej; rachunek wektorowy i macierzowy, przestrzenie wektorowe, układy liniowych równań algebraicznych i metody ich rozwiązywania; analityczne konstrukcje prostych i płaszczyzn, krzywe i powierzchnie drugiego stopnia.


Programy:

rok studiów: pierwszy (pierwszy semestr) / kierunek: Inżynieria materiałowa / specjalność: wszystkie

Autor:

dr hab. Marek Kojdecki

Bilans ECTS:

aktywność / obciążenie studenta w godzinach

1. Udział w wykładach / 48

2. Samodzielne studiowanie zagadnień z wykładów / 48

3. Udział w ćwiczeniach rachunkowych / 58

4. Samodzielne rozwiązywanie zadań / 58

5. Udział w konsultacjach / 8

6. Udział w egzaminie / 2

Sumaryczne obciążenie pracą studenta: 222 / 7 ECTS

Zajęcia z udziałem nauczycieli: 1.+3.+5. +6.= 126 / 4 ECTS

Zajęcia powiązane z działalnością naukową: 1.+2.+3.+4.=212 / 7 ECTS


Skrócony opis:

Przedmiot służy do poznania i zrozumienia przez studentów podstawowych pojęć i twierdzeń matematyki, szczególnie analizy matematycznej, oraz opanowania elementarnych umiejętności rachunkowych z zakresem wiedzy obejmującym: elementy logiki matematycznej; przestrzenie metryczne; pojęcie funkcji i funkcje elementarne; ciągi liczbowe o wyrazach rzeczywistych, szeregi liczbowe o wyrazach rzeczywistych; granicę i ciągłość odwzorowania; pochodną funkcji jednej zmiennej rzeczywistej; całkę nieoznaczoną, całkę oznaczoną; pochodną funkcji wielu zmiennych rzeczywistych; równania różniczkowe zwyczajne; całki wielokrotne; całki podwójne i potrójne.

Pełny opis:

Wykład / metody dydaktyczne

Tematy kolejnych wykładów (po dwie godziny lekcyjne):

1. Elementy logiki matematycznej. Symbolika logiczna. Zdania, tautologie, kwantyfikatory.

2. Przestrzenie metryczne. Aksjomatyczna definicja liczb rzeczywistych, gęstość i ciągłość. Określenie i przykłady przestrzeni metrycznych z metryką euklidesową. Kula otwarta. Zbieżność ciągu w przestrzeni metrycznej. Podciąg. Zbiory otwarte, domknięte i spójne. Punkt skupienia zbioru. Brzeg zbioru. Zbiór zwarty. Przestrzeń zupełna. Działania na zbiorach i ich symbole.

3. Pojęcie funkcji. Zbiory liczbowe. Odwzorowania, relacje i funkcje. Podstawowe rodzaje odwzorowań i funkcji; monotoniczność, wzajemna jednoznaczność; funkcje złożone i odwrotne. Relacje porządku i równoważności. Zbiory skończone, przeliczalne i nieprzeliczalne.

4. Funkcje elementarne. Funkcje trygonometryczne i kołowe: podstawowe właściwości, twierdzenia i wzory, tożsamości trygonometryczne. Funkcje logarytmiczne, wykładnicze, hiperboliczne i odwrotne hiperboliczne.

5. Ciągi liczbowe o wyrazach rzeczywistych. Twierdzenia o ciągach liczbowych. Granica górna i dolna ciągu liczbowego; istnienie granicy ciągu Cauchy'ego. Granice niewłaściwe. Symbole oznaczone i nieoznaczone. Przykłady ciągów, liczba e.

6. Szeregi liczbowe o wyrazach rzeczywistych. Określenie i kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność warunkowa i bezwzględna szeregu liczbowego.

7. Szeregi liczbowe o wyrazach rzeczywistych. Szeregi przemienne. Przykłady; liczby e i π.

8. Granica i ciągłość odwzorowania. Określenia Heinego i Cauchy’ego granicy i ciągłości odwzorowania w przestrzeniach metrycznych. Przypadek odwzorowań między skończenie wymiarowymi przestrzeniami rzeczywistymi.

9. Granica i ciągłość odwzorowania. Właściwości odwzorowań ciągłych. Ciągłość jednostajna. Twierdzenia o granicach funkcji jednej zmiennej. Asymptoty funkcji jednej zmiennej.

10. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Różniczka i pochodna funkcji jednej zmiennej. Podstawowe twierdzenia o pochodnych. Pochodne funkcji elementarnych.

11. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Pochodne i różniczki wyższych rzędów. Twierdzenia o wartości średniej. Wzór Taylora. Szereg Taylora.

12. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Ekstrema. Wypukłość i wklęsłość funkcji. Punkt przegięcia. Zastosowania pochodnej.

13. Całka nieoznaczona. Określenie całki nieoznaczonej. Całkowanie przez części. Całkowanie przez podstawienie.

14. Całka nieoznaczona. Całkowanie funkcji wymiernych i trygonometrycznych.

15. Całka oznaczona. Określenie całki oznaczonej. Właściwości całki oznaczonej. Związek miedzy całką oznaczoną i nieoznaczoną.

16. Całka oznaczona. Całki niewłaściwe I i II rodzaju. Zastosowania całek oznaczonych.

17. Pochodna funkcji wielu zmiennych rzeczywistych. Różniczka i pochodna funkcji wielu zmiennych. Wzór Taylora. Pochodna w kierunku wektora.

18. Pochodna funkcji wielu zmiennych rzeczywistych. Pochodne cząstkowe. Ekstrema lokalne.

19. Równania różniczkowe zwyczajne. Określenie równania różniczkowego zwyczajnego rzędów pierwszego i wyższych. Zagadnienie Cauchy’ego. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań.

20. Równania różniczkowe zwyczajne. Wybrane typy równań pierwszego i drugiego rzędu. Równania liniowe pierwszego rzędu.

21. Równania różniczkowe zwyczajne. Równania liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach.

22. Całki wielokrotne; całki podwójne i potrójne. Określenie całki wielokrotnej. Całki iterowane. Całka podwójna i całka potrójna po dowolnym ograniczonym zbiorze.

23. Całki wielokrotne; całki podwójne i potrójne. Zamiana zmiennych w całce podwójnej. Współrzędne prostokątne i biegunowe.

24. Całki wielokrotne; całki podwójne i potrójne. Zamiana zmiennych w całce potrójnej. Współrzędne prostokątne, walcowe i kuliste.

/ wykład z możliwym wykorzystaniem technik audiowizualnych, podanie zadań do samodzielnego rozwiązania i tematów do studiowania

Ćwiczenia / metody dydaktyczne

Tematy kolejnych ćwiczeń (po dwie godziny lekcyjne):

1. Elementy logiki matematycznej. Symbolika logiczna. Zdania, tautologie, kwantyfikatory.

2. Przestrzenie metryczne. Aksjomatyczna definicja liczb rzeczywistych, gęstość i ciągłość. Określenie i przykłady przestrzeni metrycznych z metryką euklidesową. Kula otwarta. Zbieżność ciągu w przestrzeni metrycznej. Podciąg. Zbiory otwarte, domknięte i spójne. Punkt skupienia zbioru. Brzeg zbioru. Zbiór zwarty. Przestrzeń zupełna. Działania na zbiorach i ich symbole.

3. Pojęcie funkcji. Zbiory liczbowe. Odwzorowania, relacje i funkcje. Podstawowe rodzaje odwzorowań i funkcji; monotoniczność, wzajemna jednoznaczność; funkcje złożone i odwrotne. Relacje porządku i równoważności. Zbiory skończone, przeliczalne i nieprzeliczalne.

4. Funkcje elementarne. Funkcje trygonometryczne i kołowe: podstawowe właściwości, twierdzenia i wzory, tożsamości trygonometryczne.

5. Funkcje elementarne. Funkcje logarytmiczne, wykładnicze, hiperboliczne i odwrotne hiperboliczne.

6. Ciągi liczbowe o wyrazach rzeczywistych. Twierdzenia o ciągach liczbowych. Granica górna i dolna ciągu liczbowego; istnienie granicy ciągu Cauchy'ego.

7. Ciągi liczbowe o wyrazach rzeczywistych. Granice niewłaściwe. Symbole oznaczone i nieoznaczone. Przykłady ciągów, liczba e.

8. Szeregi liczbowe o wyrazach rzeczywistych. Określenie i kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność warunkowa i bezwzględna szeregu liczbowego.

9. Szeregi liczbowe o wyrazach rzeczywistych. Szeregi przemienne. Przykłady; liczby e i π.

10. Granica i ciągłość odwzorowania. Określenia Heinego i Cauchy’ego granicy i ciągłości odwzorowania w przestrzeniach metrycznych. Przypadek odwzorowań między skończenie wymiarowymi przestrzeniami rzeczywistymi.

11. Granica i ciągłość odwzorowania. Właściwości odwzorowań ciągłych. Ciągłość jednostajna. Twierdzenia o granicach funkcji jednej zmiennej. Asymptoty funkcji jednej zmiennej.

12. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Różniczka i pochodna funkcji jednej zmiennej. Podstawowe twierdzenia o pochodnych. Pochodne funkcji elementarnych.

13. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Pochodne i różniczki wyższych rzędów. Twierdzenia o wartości średniej.

14. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Wzór Taylora. Szereg Taylora.

15. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Ekstrema. Wypukłość i wklęsłość funkcji. Punkt przegięcia. Zastosowania pochodnej.

16. Całka nieoznaczona. Określenie całki nieoznaczonej. Całkowanie przez części. Całkowanie przez podstawienie.

17. Całka nieoznaczona. Całkowanie funkcji wymiernych i trygonometrycznych.

18. Całka oznaczona. Określenie całki oznaczonej. Właściwości całki oznaczonej. Związek miedzy całką oznaczoną i nieoznaczoną.

19. Całka oznaczona. Całki niewłaściwe I i II rodzaju.

20. Całka oznaczona. Zastosowania całek oznaczonych.

21. Pochodna funkcji wielu zmiennych rzeczywistych. Różniczka i pochodna funkcji wielu zmiennych. Wzór Taylora. Pochodna w kierunku wektora.

22. Pochodna funkcji wielu zmiennych rzeczywistych. Pochodne cząstkowe. Ekstrema lokalne.

23. Równania różniczkowe zwyczajne. Określenie równania różniczkowego zwyczajnego rzędów pierwszego i wyższych. Zagadnienie Cauchy’ego. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań.

24. Równania różniczkowe zwyczajne. Wybrane typy równań pierwszego i drugiego rzędu. Równania liniowe pierwszego rzędu.

25. Równania różniczkowe zwyczajne. Równania liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach.

26. Całki wielokrotne; całki podwójne i potrójne. Określenie całki wielokrotnej. Całki iterowane. Całka podwójna i całka potrójna po dowolnym ograniczonym zbiorze.

27. Całki wielokrotne; całki podwójne i potrójne. Zamiana zmiennych w całce podwójnej. Współrzędne prostokątne i biegunowe.

28. Całki wielokrotne; całki podwójne i potrójne. Zamiana zmiennych w całce potrójnej. Współrzędne prostokątne, walcowe i kuliste.

29. Całki wielokrotne; całki podwójne i potrójne. Zastosowania całek wielokrotnych.

/ ćwiczenia rachunkowe ułatwiające opanowanie, zrozumienie i usystematyzowanie wiedzy wyniesionej z wykładów i własnych studiów studentów oraz nabycie umiejętności rachunkowych, podanie zadań do samodzielnego rozwiązania i tematów do studiowania, pisemna praca kontrolna

Literatura:

podstawowa:

R. Leitner, Zarys matematyki wyższej, część I i II, WNT, 1994.

R. Leitner, J. Zacharski, Zarys matematyki wyższej, część III, WNT, 1994.

J. Gawinecki, Matematyka dla informatyków, część I i II, BelStudio, 2003.

R. Leitner, M. Matuszewski, Z. Rojek, Zadania z matematyki wyższej, część I i II, WNT, 1998.

W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II, PWN, 2002.

uzupełniająca:

W. Leksiński, J. Nabiałek, W. Żakowski, Matematyka. Definicje, twierdzenia, przykłady, zadania, WNT, 1992.

W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część I, WNT, 1995.

W. Stankiewicz, J. Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część II, WNT, 1995.

J. Gawinecki, Z. Domański, Matematyka. Równania różniczkowe cząstkowe i metody ich rozwiązywania, część I i II, skrypt WAT, 1996.

Efekty uczenia się:

symbol / efekt kształcenia / odniesienie do efektów kierunku

Student, który zaliczył przedmiot,

W01 – Ma podstawową wiedzę, stanowiącą bazę dla zrozumienia i studiowania przedmiotów kierunkowych, w zakresie analizy matematycznej. Zna symbole i elementarne pojęcia logiki i teorii mnogości. Zna funkcje elementarne. Zna symbole i podstawowe pojęcia rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej i funkcji wielu zmiennych rzeczywistych oraz równań różniczkowych zwyczajnych. / K_W02

W02 – Zna podstawowe pojęcia, określenia i twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej oraz podstawowe pojęcia, określenia i twierdzenia teorii równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego i drugiego rzędu. Zna i rozumie pojęcia ciągu i szeregu liczbowego. Rozumie pojęcia granicy i ciągłości funkcji, funkcji pochodnej, całki oznaczonej i nieoznaczonej. Zna podstawowe sposoby i wzory znajdowania pochodnych oraz całek oznaczonych i nieoznaczonych. Rozumie pojęcia granicy, ciągłości i różniczkowalności funkcji wielu zmiennych. Zna podstawowe sposoby i wzory znajdowania pochodnych cząstkowych oraz całek podwójnych i potrójnych. / K_W02, K_W03,

U01 – Umie posługiwać się w podstawowym zakresie językiem analizy matematycznej, wykorzystując właściwe symbole i odpowiednie twierdzenia. Umie obliczać granice ciągów, także wyrażeń nieoznaczonych, wykorzystując wzory i twierdzenia. Umie zbadać zbieżność prostych szeregów liczbowych, stosując odpowiednie twierdzenia. Umie obliczać granice i badać ciągłość funkcji jednej zmiennej. Umie znajdować pochodne według określenia i z wykorzystaniem wzorów i twierdzeń. Umie obliczać proste całki nieoznaczone, stosując odpowiednie twierdzenia i wzory, w tym całki funkcji wymiernych. Umie obliczać proste całki oznaczone. Umie rozwiązywać równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych i liniowe oraz drugiego rzędu liniowe o stałych współczynnikach. Umie obliczać pochodne cząstkowe i proste całki podwójne i potrójne. / K_U07

U02 – Umie formułować i rozwiązywać proste problemy z wykorzystaniem rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej oraz równań różniczkowych zwyczajnych. Umie stosować rachunek różniczkowy i całkowy funkcji wielu zmiennych do rozwiązywania prostych zadań. / K_U07

U03 – Potrafi pozyskiwać informacje z literatury, baz danych i innych źródeł (także anglojęzycznych); potrafi interpretować uzyskane informacje i formułować wnioski. Ma wyrobioną wewnętrzną potrzebę i umiejętność ustawicznego uzupełniania i nowelizacji nabytej wiedzy poprzez samokształcenie. / K_U03, K_U06

K01 – Rozumie potrzebę ciągłego dokształcania się i odświeżania wiedzy, w szczególności związanej ze złożoną strukturą matematyki. / K_K01

Metody i kryteria oceniania:

aktywność / obciążenie studenta w godzinach

1. Udział w wykładach / 48

2. Samodzielne studiowanie zagadnień z wykładów / 48

3. Udział w ćwiczeniach rachunkowych / 58

4. Samodzielne rozwiązywanie zadań / 58

5. Udział w egzaminie / 2

Sumaryczne obciążenie pracą studenta: 214 / 7 ECTS

Zajęcia z udziałem nauczycieli: 1.+3.+5. = 108 / 4 ECTS

Praktyki zawodowe:

Nie przewiduje się.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Wojskowa Akademia Techniczna.
ul. gen. Sylwestra Kaliskiego 2, 00-908 Warszawa 46 tel: +48 261 839 000 https://www.wojsko-polskie.pl/wat/ kontakt deklaracja dostępności mapa serwisu USOSweb 7.1.0.0-9 (2024-12-18)