Analiza matematyczna I
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | WTCNXCSI-AM |
Kod Erasmus / ISCED: | (brak danych) / (brak danych) |
Nazwa przedmiotu: | Analiza matematyczna I |
Jednostka: | Wydział Cybernetyki |
Grupy: | |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | polski |
Forma studiów: | stacjonarne |
Rodzaj studiów: | I stopnia |
Rodzaj przedmiotu: | obowiązkowy |
Forma zajęć liczba godzin/rygor: | W 48 /x, C 58 /x, L / 0, P / 0, S / 0, Razem: 106 |
Przedmioty wprowadzające: | Nazwa przedmiotu / wymagania wstępne Matematyka ze szkoły średniej. / Student powinien znać pojęcia, określenia i symbole matematyczne oraz elementarne metody rachunkowe objęte podstawą programową z matematyki w zakresie rozszerzonym z logiki, teorii zbiorów, planimetrii, stereometrii, trygonometrii, geometrii analitycznej, funkcji elementarnych, ciągów liczbowych i probabilistyki. Algebra z geometrią (ze studiów I stopnia) / Student powinien znać: liczby rzeczywiste i zespolone, podstawowe pojęcia, określenia i twierdzenia algebry liniowej i geometrii analitycznej; rachunek wektorowy i macierzowy, przestrzenie wektorowe, układy liniowych równań algebraicznych i metody ich rozwiązywania; analityczne konstrukcje prostych i płaszczyzn, krzywe i powierzchnie drugiego stopnia. |
Programy: | rok studiów: pierwszy (pierwszy semestr) / kierunek: Inżynieria materiałowa / specjalność: wszystkie |
Autor: | dr hab. Marek Kojdecki |
Bilans ECTS: | aktywność / obciążenie studenta w godzinach 1. Udział w wykładach / 48 2. Samodzielne studiowanie zagadnień z wykładów / 48 3. Udział w ćwiczeniach rachunkowych / 58 4. Samodzielne rozwiązywanie zadań / 58 5. Udział w konsultacjach / 8 6. Udział w egzaminie / 2 Sumaryczne obciążenie pracą studenta: 222 / 7 ECTS Zajęcia z udziałem nauczycieli: 1.+3.+5. +6.= 126 / 4 ECTS Zajęcia powiązane z działalnością naukową: 1.+2.+3.+4.=212 / 7 ECTS |
Skrócony opis: |
Przedmiot służy do poznania i zrozumienia przez studentów podstawowych pojęć i twierdzeń matematyki, szczególnie analizy matematycznej, oraz opanowania elementarnych umiejętności rachunkowych z zakresem wiedzy obejmującym: elementy logiki matematycznej; przestrzenie metryczne; pojęcie funkcji i funkcje elementarne; ciągi liczbowe o wyrazach rzeczywistych, szeregi liczbowe o wyrazach rzeczywistych; granicę i ciągłość odwzorowania; pochodną funkcji jednej zmiennej rzeczywistej; całkę nieoznaczoną, całkę oznaczoną; pochodną funkcji wielu zmiennych rzeczywistych; równania różniczkowe zwyczajne; całki wielokrotne; całki podwójne i potrójne. |
Pełny opis: |
Wykład / metody dydaktyczne Tematy kolejnych wykładów (po dwie godziny lekcyjne): 1. Elementy logiki matematycznej. Symbolika logiczna. Zdania, tautologie, kwantyfikatory. 2. Przestrzenie metryczne. Aksjomatyczna definicja liczb rzeczywistych, gęstość i ciągłość. Określenie i przykłady przestrzeni metrycznych z metryką euklidesową. Kula otwarta. Zbieżność ciągu w przestrzeni metrycznej. Podciąg. Zbiory otwarte, domknięte i spójne. Punkt skupienia zbioru. Brzeg zbioru. Zbiór zwarty. Przestrzeń zupełna. Działania na zbiorach i ich symbole. 3. Pojęcie funkcji. Zbiory liczbowe. Odwzorowania, relacje i funkcje. Podstawowe rodzaje odwzorowań i funkcji; monotoniczność, wzajemna jednoznaczność; funkcje złożone i odwrotne. Relacje porządku i równoważności. Zbiory skończone, przeliczalne i nieprzeliczalne. 4. Funkcje elementarne. Funkcje trygonometryczne i kołowe: podstawowe właściwości, twierdzenia i wzory, tożsamości trygonometryczne. Funkcje logarytmiczne, wykładnicze, hiperboliczne i odwrotne hiperboliczne. 5. Ciągi liczbowe o wyrazach rzeczywistych. Twierdzenia o ciągach liczbowych. Granica górna i dolna ciągu liczbowego; istnienie granicy ciągu Cauchy'ego. Granice niewłaściwe. Symbole oznaczone i nieoznaczone. Przykłady ciągów, liczba e. 6. Szeregi liczbowe o wyrazach rzeczywistych. Określenie i kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność warunkowa i bezwzględna szeregu liczbowego. 7. Szeregi liczbowe o wyrazach rzeczywistych. Szeregi przemienne. Przykłady; liczby e i π. 8. Granica i ciągłość odwzorowania. Określenia Heinego i Cauchy’ego granicy i ciągłości odwzorowania w przestrzeniach metrycznych. Przypadek odwzorowań między skończenie wymiarowymi przestrzeniami rzeczywistymi. 9. Granica i ciągłość odwzorowania. Właściwości odwzorowań ciągłych. Ciągłość jednostajna. Twierdzenia o granicach funkcji jednej zmiennej. Asymptoty funkcji jednej zmiennej. 10. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Różniczka i pochodna funkcji jednej zmiennej. Podstawowe twierdzenia o pochodnych. Pochodne funkcji elementarnych. 11. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Pochodne i różniczki wyższych rzędów. Twierdzenia o wartości średniej. Wzór Taylora. Szereg Taylora. 12. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Ekstrema. Wypukłość i wklęsłość funkcji. Punkt przegięcia. Zastosowania pochodnej. 13. Całka nieoznaczona. Określenie całki nieoznaczonej. Całkowanie przez części. Całkowanie przez podstawienie. 14. Całka nieoznaczona. Całkowanie funkcji wymiernych i trygonometrycznych. 15. Całka oznaczona. Określenie całki oznaczonej. Właściwości całki oznaczonej. Związek miedzy całką oznaczoną i nieoznaczoną. 16. Całka oznaczona. Całki niewłaściwe I i II rodzaju. Zastosowania całek oznaczonych. 17. Pochodna funkcji wielu zmiennych rzeczywistych. Różniczka i pochodna funkcji wielu zmiennych. Wzór Taylora. Pochodna w kierunku wektora. 18. Pochodna funkcji wielu zmiennych rzeczywistych. Pochodne cząstkowe. Ekstrema lokalne. 19. Równania różniczkowe zwyczajne. Określenie równania różniczkowego zwyczajnego rzędów pierwszego i wyższych. Zagadnienie Cauchy’ego. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań. 20. Równania różniczkowe zwyczajne. Wybrane typy równań pierwszego i drugiego rzędu. Równania liniowe pierwszego rzędu. 21. Równania różniczkowe zwyczajne. Równania liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach. 22. Całki wielokrotne; całki podwójne i potrójne. Określenie całki wielokrotnej. Całki iterowane. Całka podwójna i całka potrójna po dowolnym ograniczonym zbiorze. 23. Całki wielokrotne; całki podwójne i potrójne. Zamiana zmiennych w całce podwójnej. Współrzędne prostokątne i biegunowe. 24. Całki wielokrotne; całki podwójne i potrójne. Zamiana zmiennych w całce potrójnej. Współrzędne prostokątne, walcowe i kuliste. / wykład z możliwym wykorzystaniem technik audiowizualnych, podanie zadań do samodzielnego rozwiązania i tematów do studiowania Ćwiczenia / metody dydaktyczne Tematy kolejnych ćwiczeń (po dwie godziny lekcyjne): 1. Elementy logiki matematycznej. Symbolika logiczna. Zdania, tautologie, kwantyfikatory. 2. Przestrzenie metryczne. Aksjomatyczna definicja liczb rzeczywistych, gęstość i ciągłość. Określenie i przykłady przestrzeni metrycznych z metryką euklidesową. Kula otwarta. Zbieżność ciągu w przestrzeni metrycznej. Podciąg. Zbiory otwarte, domknięte i spójne. Punkt skupienia zbioru. Brzeg zbioru. Zbiór zwarty. Przestrzeń zupełna. Działania na zbiorach i ich symbole. 3. Pojęcie funkcji. Zbiory liczbowe. Odwzorowania, relacje i funkcje. Podstawowe rodzaje odwzorowań i funkcji; monotoniczność, wzajemna jednoznaczność; funkcje złożone i odwrotne. Relacje porządku i równoważności. Zbiory skończone, przeliczalne i nieprzeliczalne. 4. Funkcje elementarne. Funkcje trygonometryczne i kołowe: podstawowe właściwości, twierdzenia i wzory, tożsamości trygonometryczne. 5. Funkcje elementarne. Funkcje logarytmiczne, wykładnicze, hiperboliczne i odwrotne hiperboliczne. 6. Ciągi liczbowe o wyrazach rzeczywistych. Twierdzenia o ciągach liczbowych. Granica górna i dolna ciągu liczbowego; istnienie granicy ciągu Cauchy'ego. 7. Ciągi liczbowe o wyrazach rzeczywistych. Granice niewłaściwe. Symbole oznaczone i nieoznaczone. Przykłady ciągów, liczba e. 8. Szeregi liczbowe o wyrazach rzeczywistych. Określenie i kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność warunkowa i bezwzględna szeregu liczbowego. 9. Szeregi liczbowe o wyrazach rzeczywistych. Szeregi przemienne. Przykłady; liczby e i π. 10. Granica i ciągłość odwzorowania. Określenia Heinego i Cauchy’ego granicy i ciągłości odwzorowania w przestrzeniach metrycznych. Przypadek odwzorowań między skończenie wymiarowymi przestrzeniami rzeczywistymi. 11. Granica i ciągłość odwzorowania. Właściwości odwzorowań ciągłych. Ciągłość jednostajna. Twierdzenia o granicach funkcji jednej zmiennej. Asymptoty funkcji jednej zmiennej. 12. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Różniczka i pochodna funkcji jednej zmiennej. Podstawowe twierdzenia o pochodnych. Pochodne funkcji elementarnych. 13. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Pochodne i różniczki wyższych rzędów. Twierdzenia o wartości średniej. 14. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Wzór Taylora. Szereg Taylora. 15. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Ekstrema. Wypukłość i wklęsłość funkcji. Punkt przegięcia. Zastosowania pochodnej. 16. Całka nieoznaczona. Określenie całki nieoznaczonej. Całkowanie przez części. Całkowanie przez podstawienie. 17. Całka nieoznaczona. Całkowanie funkcji wymiernych i trygonometrycznych. 18. Całka oznaczona. Określenie całki oznaczonej. Właściwości całki oznaczonej. Związek miedzy całką oznaczoną i nieoznaczoną. 19. Całka oznaczona. Całki niewłaściwe I i II rodzaju. 20. Całka oznaczona. Zastosowania całek oznaczonych. 21. Pochodna funkcji wielu zmiennych rzeczywistych. Różniczka i pochodna funkcji wielu zmiennych. Wzór Taylora. Pochodna w kierunku wektora. 22. Pochodna funkcji wielu zmiennych rzeczywistych. Pochodne cząstkowe. Ekstrema lokalne. 23. Równania różniczkowe zwyczajne. Określenie równania różniczkowego zwyczajnego rzędów pierwszego i wyższych. Zagadnienie Cauchy’ego. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań. 24. Równania różniczkowe zwyczajne. Wybrane typy równań pierwszego i drugiego rzędu. Równania liniowe pierwszego rzędu. 25. Równania różniczkowe zwyczajne. Równania liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach. 26. Całki wielokrotne; całki podwójne i potrójne. Określenie całki wielokrotnej. Całki iterowane. Całka podwójna i całka potrójna po dowolnym ograniczonym zbiorze. 27. Całki wielokrotne; całki podwójne i potrójne. Zamiana zmiennych w całce podwójnej. Współrzędne prostokątne i biegunowe. 28. Całki wielokrotne; całki podwójne i potrójne. Zamiana zmiennych w całce potrójnej. Współrzędne prostokątne, walcowe i kuliste. 29. Całki wielokrotne; całki podwójne i potrójne. Zastosowania całek wielokrotnych. / ćwiczenia rachunkowe ułatwiające opanowanie, zrozumienie i usystematyzowanie wiedzy wyniesionej z wykładów i własnych studiów studentów oraz nabycie umiejętności rachunkowych, podanie zadań do samodzielnego rozwiązania i tematów do studiowania, pisemna praca kontrolna |
Literatura: |
podstawowa: R. Leitner, Zarys matematyki wyższej, część I i II, WNT, 1994. R. Leitner, J. Zacharski, Zarys matematyki wyższej, część III, WNT, 1994. J. Gawinecki, Matematyka dla informatyków, część I i II, BelStudio, 2003. R. Leitner, M. Matuszewski, Z. Rojek, Zadania z matematyki wyższej, część I i II, WNT, 1998. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II, PWN, 2002. uzupełniająca: W. Leksiński, J. Nabiałek, W. Żakowski, Matematyka. Definicje, twierdzenia, przykłady, zadania, WNT, 1992. W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część I, WNT, 1995. W. Stankiewicz, J. Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część II, WNT, 1995. J. Gawinecki, Z. Domański, Matematyka. Równania różniczkowe cząstkowe i metody ich rozwiązywania, część I i II, skrypt WAT, 1996. |
Efekty uczenia się: |
symbol / efekt kształcenia / odniesienie do efektów kierunku Student, który zaliczył przedmiot, W01 – Ma podstawową wiedzę, stanowiącą bazę dla zrozumienia i studiowania przedmiotów kierunkowych, w zakresie analizy matematycznej. Zna symbole i elementarne pojęcia logiki i teorii mnogości. Zna funkcje elementarne. Zna symbole i podstawowe pojęcia rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej i funkcji wielu zmiennych rzeczywistych oraz równań różniczkowych zwyczajnych. / K_W02 W02 – Zna podstawowe pojęcia, określenia i twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej oraz podstawowe pojęcia, określenia i twierdzenia teorii równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego i drugiego rzędu. Zna i rozumie pojęcia ciągu i szeregu liczbowego. Rozumie pojęcia granicy i ciągłości funkcji, funkcji pochodnej, całki oznaczonej i nieoznaczonej. Zna podstawowe sposoby i wzory znajdowania pochodnych oraz całek oznaczonych i nieoznaczonych. Rozumie pojęcia granicy, ciągłości i różniczkowalności funkcji wielu zmiennych. Zna podstawowe sposoby i wzory znajdowania pochodnych cząstkowych oraz całek podwójnych i potrójnych. / K_W02, K_W03, U01 – Umie posługiwać się w podstawowym zakresie językiem analizy matematycznej, wykorzystując właściwe symbole i odpowiednie twierdzenia. Umie obliczać granice ciągów, także wyrażeń nieoznaczonych, wykorzystując wzory i twierdzenia. Umie zbadać zbieżność prostych szeregów liczbowych, stosując odpowiednie twierdzenia. Umie obliczać granice i badać ciągłość funkcji jednej zmiennej. Umie znajdować pochodne według określenia i z wykorzystaniem wzorów i twierdzeń. Umie obliczać proste całki nieoznaczone, stosując odpowiednie twierdzenia i wzory, w tym całki funkcji wymiernych. Umie obliczać proste całki oznaczone. Umie rozwiązywać równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych i liniowe oraz drugiego rzędu liniowe o stałych współczynnikach. Umie obliczać pochodne cząstkowe i proste całki podwójne i potrójne. / K_U07 U02 – Umie formułować i rozwiązywać proste problemy z wykorzystaniem rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej oraz równań różniczkowych zwyczajnych. Umie stosować rachunek różniczkowy i całkowy funkcji wielu zmiennych do rozwiązywania prostych zadań. / K_U07 U03 – Potrafi pozyskiwać informacje z literatury, baz danych i innych źródeł (także anglojęzycznych); potrafi interpretować uzyskane informacje i formułować wnioski. Ma wyrobioną wewnętrzną potrzebę i umiejętność ustawicznego uzupełniania i nowelizacji nabytej wiedzy poprzez samokształcenie. / K_U03, K_U06 K01 – Rozumie potrzebę ciągłego dokształcania się i odświeżania wiedzy, w szczególności związanej ze złożoną strukturą matematyki. / K_K01 |
Metody i kryteria oceniania: |
aktywność / obciążenie studenta w godzinach 1. Udział w wykładach / 48 2. Samodzielne studiowanie zagadnień z wykładów / 48 3. Udział w ćwiczeniach rachunkowych / 58 4. Samodzielne rozwiązywanie zadań / 58 5. Udział w egzaminie / 2 Sumaryczne obciążenie pracą studenta: 214 / 7 ECTS Zajęcia z udziałem nauczycieli: 1.+3.+5. = 108 / 4 ECTS |
Praktyki zawodowe: |
Nie przewiduje się. |
Właścicielem praw autorskich jest Wojskowa Akademia Techniczna.