Wybrane działy matematyki

stacjonarne

II stopnia

obowiązkowy

realizowane formy zajęć: W – wykład, C – ćwiczenia audytoryjne, L – ćwiczenia laboratoryjne, P – ćwiczenia projektowe, S – seminarium;

rygor: x – egzamin, + – zaliczenie na ocenę, z – zaliczenie ogólne

Studia stacjonarne: W 30 /x; C 30 /+, razem: 60 godzin, 5 punktów ECTS

Studia niestacjonarne: W 20 /x; C 22 /+, razem: 42 godziny, 5 punktów ECTS

Matematyka ze studiów pierwszego stopnia.

Matematyka 1. / Student powinien znać: symbole i elementarne pojęcia logiki i teorii mnogości; funkcje elementarne; liczby rzeczywiste i zespolone; podstawowe pojęcia, określenia i twierdzenia algebry liniowej i geometrii analitycznej; rachunek wektorowy i macierzowy, przestrzenie wektorowe, układy liniowych równań algebraicznych i metody ich rozwiązywania; analityczne konstrukcje prostych i płaszczyzn; krzywe i powierzchnie drugiego stopnia.

Matematyka 2. / Student powinien znać: symbole, określenia, twierdzenia i przykłady dotyczące ciągów i szeregów liczbowych, rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej oraz rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych. Student powinien umieć obliczać granice ciągów i funkcji jednej zmiennej, znajdować pochodne i całki oznaczone i nieoznaczone oraz znajdować pochodne cząstkowe.

Matematyka 3. / Student powinien znać: symbole, określenia, twierdzenia i przykłady dotyczące rachunku różniczkowego i całkowego funkcji wielu zmiennych, równań różniczkowych zwyczajnych oraz pojęć prawdopodobieństwa, zmiennej losowej i rozkładu prawdopodobieństwa. Student powinien umieć obliczać całki wielokrotne i prawdopodobieństwa zdarzeń losowych.

Matematyka 4. / Student powinien znać: symbole, określenia, twierdzenia i przykłady analizy wektorowej. Student powinien umieć obliczać pochodne funkcji wektorowych oraz całki krzywoliniowe i powierzchniowe.

semestr studiów / kierunek studiów / specjalność

pierwszy semestr / lotnictwo i kosmonautyka / wszystkie specjalności

dr hab. Marek Kojdecki

Aktywność / obciążenie studenta w godzinach

studia stacjonarne

1. Udział w wykładach / 30

2. Udział w ćwiczeniach rachunkowych / 30

3. Udział w ćwiczeniach laboratoryjnych / 0

4. Udział w ćwiczeniach projektowych / 0

5. Udział w seminariach / 0

6. Samodzielne studiowanie tematyki wykładów / 40

7. Samodzielne przygotowanie do ćwiczeń / 40

8. Samodzielne przygotowanie do laboratoriów / 0

9. Realizacja projektu / 0

10. Samodzielne przygotowanie do seminarium / 0

11. Udział w konsultacjach / 4

12. Przygotowanie do egzaminu / 4

13. Przygotowanie do zaliczenia / 0

14. Udział w egzaminie / 2

Sumaryczne obciążenie pracą studenta: 150 godzin / 5 punktów ECTS

Zajęcia:

– z udziałem nauczycieli (1+2+3+4+5+11+14): 66 godzin / 2,5 punktu ECTS

– powiązane z działalnością naukową (1 do 10): 140 godzin / 5 punktów ECTS

– o charakterze praktycznym (2+3+4+7+8+9): 70 godzin / 2,5 punktu ECTS

Przedmiot służy do poznania i zrozumienia przez studentów podstawowych pojęć i twierdzeń wybranych działów matematyki oraz opanowania elementarnych umiejętności rachunkowych z zakresem wiedzy obejmującym: funkcje zmiennej zespolonej; rachunek operatorowy oparty na przekształceniu Laplace'a; równania różniczkowe cząstkowe.

Wykład / metody dydaktyczne

Tematy kolejnych wykładów (po dwie godziny lekcyjne):

1. Funkcje zmiennej zespolonej. Ciągi i szeregi liczbowe o wyrazach zespolonych; funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej i zmiennej zespolonej.

2. Funkcje zmiennej zespolonej. Granica ciągłość, pochodna funkcji zmiennej zespolonej; funkcje holomorficzne; szeregi potęgowe.

3. Funkcje zmiennej zespolonej. Całki funkcji zmiennej zespolonej; wzory całkowe.

4. Funkcje zmiennej zespolonej. Szeregi Taylora i Laurenta.

5. Funkcje zmiennej zespolonej. Residua; zastosowanie do obliczania całek.

6. Rachunek operatorowy oparty na przekształceniu Laplace’a. Proste i odwrotne przekształcenie Laplace’a; pojęcie oryginału, właściwości transformaty.

7. Rachunek operatorowy oparty na przekształceniu Laplace’a. Zastosowania przekształcenia Laplace’a do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych; rachunek operatorowy.

8. Szeregi Fouriera. Ciągi i szeregi funkcyjne, określenia, zbieżność punktowa i zbieżność jednostajna; właściwości sum.

9. Szeregi Fouriera. Szereg trygonometryczny; rozwijanie funkcji w szereg; właściwości sum: ciągłość, całkowalność i różniczkowalność.

10. Równania różniczkowe cząstkowe. Przykłady równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu w postaci kanonicznej; pojęcie zagadnienia granicznego; rodzaje i przykłady zagadnień granicznych; poprawność postawienia zagadnienia.

11. Równania różniczkowe cząstkowe. Równanie falowe; mieszane zagadnienie graniczne: równanie drgań ograniczonej struny i metoda rozdzielenia zmiennych.

12. Równania różniczkowe cząstkowe. Równanie falowe; fale w przestrzeniach jedno-, dwu- i trójwymiarowej.

13. Równania różniczkowe cząstkowe. Równanie dyfuzji i przewodnictwa cieplnego; przykłady zagadnień początkowych z rozwiązaniami.

14. Równania różniczkowe cząstkowe. Równanie dyfuzji i przewodnictwa cieplnego; metoda rozdzielania zmiennych i przykłady mieszanych zagadnień granicznych z rozwiązaniami.

15. Równania różniczkowe cząstkowe. Równania Laplace’a i Poissona; zagadnienia Dirichleta i Neumanna; potencjały; właściwości funkcji harmonicznych.

/ wykład z możliwym wykorzystaniem technik audiowizualnych, podanie zadań do samodzielnego rozwiązania i tematów do studiowania

Ćwiczenia / metody dydaktyczne

Tematy kolejnych ćwiczeń (po dwie godziny lekcyjne):

1. Funkcje zmiennej zespolonej. Ciągi i szeregi liczbowe o wyrazach zespolonych; funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej i zmiennej zespolonej.

2. Funkcje zmiennej zespolonej. Granica ciągłość, pochodna funkcji zmiennej zespolonej; funkcje holomorficzne; szeregi potęgowe.

3. Funkcje zmiennej zespolonej. Całki funkcji zmiennej zespolonej; wzory całkowe.

4. Funkcje zmiennej zespolonej. Szeregi Taylora i Laurenta.

5. Funkcje zmiennej zespolonej. Residua; zastosowanie do obliczania całek.

6. Rachunek operatorowy oparty na przekształceniu Laplace’a.* Proste i odwrotne przekształcenie Laplace’a; pojęcie oryginału, właściwości transformaty.

7. Rachunek operatorowy oparty na przekształceniu Laplace’a. Zastosowania przekształcenia Laplace’a do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych; rachunek operatorowy.

8. Rachunek operatorowy oparty na przekształceniu Laplace’a. Zastosowania przekształcenia Laplace’a do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych i równań całkowych; rachunek operatorowy.

9. Szeregi Fouriera. Szereg trygonometryczny; rozwijanie funkcji w szereg; właściwości sum: ciągłość, całkowalność i różniczkowalność.

10. Równania różniczkowe cząstkowe. Przykłady równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu w postaci kanonicznej; pojęcie zagadnienia granicznego; rodzaje i przykłady zagadnień granicznych; poprawność postawienia zagadnienia.

11. Równania różniczkowe cząstkowe. Równanie falowe; mieszane zagadnienie graniczne: równanie drgań ograniczonej struny i metoda rozdzielenia zmiennych.

12. Równania różniczkowe cząstkowe. Równanie falowe; fale w przestrzeniach jedno-, dwu- i trójwymiarowej.

13. Równania różniczkowe cząstkowe. Równanie dyfuzji i przewodnictwa cieplnego; przykłady zagadnień początkowych z rozwiązaniami.

14. Równania różniczkowe cząstkowe. Równanie dyfuzji i przewodnictwa cieplnego; metoda rozdzielania zmiennych i przykłady mieszanych zagadnień granicznych z rozwiązaniami.

15. Równania różniczkowe cząstkowe. Równania Laplace’a i Poissona; zagadnienia Dirichleta i Neumanna; potencjały; właściwości funkcji harmonicznych.

/ ćwiczenia rachunkowe ułatwiające opanowanie, zrozumienie i usystematyzowanie wiedzy wyniesionej z wykładów i własnych studiów studentów oraz nabycie umiejętności rachunkowych, podanie zadań do samodzielnego rozwiązania i tematów do studiowania, pisemna praca kontrolna

podstawowa:

R. Leitner, Zarys matematyki wyższej, część I i II, WNT, 1994.

R. Leitner, J. Zacharski, Zarys matematyki wyższej, część III, WNT, 1994.

Z. Rojek, Funkcje analityczne w zadaniach, skrypt WAT, 1971.

Z. Domański, Przekształcenia całkowe w zadaniach, skrypt WAT, 1973.

uzupełniająca:

W. Leksiński, J. Nabiałek, W. Żakowski, Matematyka. Definicje, twierdzenia, przykłady, zadania, WNT, 1992.

F. Leja, Funkcje zespolone, PWN, 1976.

J. Krzyż, Zbiór zadań z funkcji analitycznych, 2005.

J. Gawinecki. Z. Domański, Równania różniczkowe cząstkowe i metody ich rozwiązywania. Część I i II, skrypt WAT 1996.

W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część I, WNT, 1995.

W. Stankiewicz, J. Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część II, WNT, 1995.

W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II, PWN, 2002.

symbol / efekt uczenia się / odniesienie do efektów kierunku

Student, który zaliczył przedmiot,

W01 – Zna podstawowe właściwości funkcji zmiennej zespolonej. Zna symbole, podstawowe pojęcia, określenia i twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego funkcji zmiennej zespolonej. Zna określenia i podstawowe właściwości przekształcenia Laplace’a i zasady rachunku operatorowego. Zna przykłady i podstawowe właściwości rozwiązań zagadnień granicznych dla wybranych równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu – falowego, dyfuzji, Laplace’a i Poissona. / K_W01, K_W09

W02 – Rozumie pojęcia granicy, ciągłości, różniczkowalności i całki funkcji zmiennej zespolonej. Zna podstawowe sposoby i wzory znajdowania pochodnych oraz całek funkcji zespolonych. Zna wybrane metody rozwiązywania najprostszych mieszanych zagadnień granicznych dla liniowych równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu o stałych współczynnikach – falowego i przewodnictwa cieplnego. / K_W01, K_W09

U01 – Umie stosować rachunek różniczkowy i całkowy funkcji zespolonych do rozwiązywania zadań. Umie rozwiązywać zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą przekształcenia Laplace’a. Umie formułować i rozwiązywać najprostsze zagadnienia graniczne dla równań różniczkowych cząstkowych – falowego i przewodnictwa cieplnego. / K_U06

U02 – Umie formułować i rozwiązywać proste problemy z wykorzystaniem funkcji zmiennej zespolonej i równań różniczkowych cząstkowych. / K_U06

U03 – Potrafi pozyskiwać informacje z literatury, baz danych i innych źródeł (także anglojęzycznych); potrafi interpretować uzyskane informacje i formułować wnioski. /

Przedmiot zaliczany jest na podstawie egzaminu sprawdzającego wiedzę (W01 i W02) i umiejętności (U01 i U02).

Egzamin przeprowadzany jest w formie pisemnej lub pisemnej i ustnej.

Warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest zaliczenie ćwiczeń.

Ćwiczenia zaliczane są na podstawie wyników prac kontrolnych przeprowadzanych pod bezpośrednią kontrolą podczas zajęć (U01, U02, W01, W02) lub w formie zadań do samodzielnego rozwiązania (U01, U02, U03).

Dodatkowo studenci otrzymują wskazówki do samodzielnego studiowana z zachętą do korzystania z różnorodnych źródeł wiedzy (U03).

Skala ocen: dostatecznie (3) – student zna i rozumie większość wyłożonych zagadnień, umie rozwiązywać najprostsze zadania rachunkowe, rozumie treść najważniejszych twierdzeń; dobrze (4) – student zna i rozumie znaczną większość wyłożonych zagadnień, umie formułować i rozwiązywać najprostsze zadania rachunkowe oraz interpretować ich wyniki za pomocą twierdzeń; bardzo dobrze (5) – student zna i rozumie wszystkie wyłożone zagadnienia, umie formułować i rozwiązywać zadania rachunkowe oraz interpretować ich wyniki za pomocą twierdzeń; dość dobrze (3,5) i ponad dobrze (4,5) – pośrednio między dostatecznie i dobrze oraz między dobrze i bardzo dobrze.