Numeryczne metody opracowań geodezyjnych I

stacjonarne

I stopnia

W 14/+, C 16/+, godziny bezkontaktowe 20

W 16/+, L 14/+, godziny bezkontaktowe 20

Matematyka/wymagania wstępne – znajomość podstawowych zagadnień algebry liniowej (rachunek macierzowy, rozwiązywanie układów równań liniowych) i analizy matematycznej (podstawy rachunku różniczkowego funkcji jednej i wielu zmiennych).

Informatyka geodezyjno-kartograficzna/wymagania wstępne – podstawowa znajomość programowania wspomagająca wykonywanie obliczeń geodezyjnych.

Geodezyjna technika pomiarowa/wymagania – znajomość podstawowych metod pomiarów geodezyjnych.

Rachunek wyrównawczy/wymagania – umiejętność formułowania i rozwiązywania zadań wyrównawczych.

Dyscyplina naukowa studiów prowadzonych w WAT

dr hab. inż. Krzysztof Kroszczyński, mgr inż. Andrzej Araszkiewicz

Przedmiot dotyczy wybranych metod numerycznych stosowanych w opracowaniach i analizach pomiarów geodezyjnych. Przedstawia: ogólne pojęcia i idee metod numerycznych, narzędzia obliczeń – biblioteki funkcji języków skryptowych typu: Scilab, Octave, Matlab, GMT; wybrane zagadnienia algebry wektorów i macierzy związane z metodami rozwiązywania układów równań liniowych w tym układów normalnych. Zawiera informacje o ważnych w obliczeniach geodezyjnych metodach iteracyjnych – rozwiązywanie układów równań nieliniowych; ważnych w zastosowaniach geodezyjnych metodach aproksymacji globalnej i lokalnej; procedurach całkowania służących do szacowania powierzchni i objętości mas.

Wykład/metody dydaktyczne: Wykłady są realizowane konwencjonalnie (metodą podającą), problemowo i konwersatoryjnie.

Tematy zajęć

Semestr I:

1. Ogólne idee i pojęcia metod numerycznych: Algorytmy: uwarunkowanie, efektywność, poprawność, stabilność, złożoność obliczeniowa. Arytmetyka komputerowa: arytmetyka zmiennopozycyjna, błędy bezwzględne i względne, działania na liczbach zmiennopozycyjnych, utrata cyfr znaczących (2 godz).

2. Języki skryptowe: Scilab, Octave, GMT, (Matlab). Konstrukcja skryptów i funkcji. Biblioteki narzędziowe (Linear algebra, Geodetic, Mapping, Transformation, Signal, Image Processing -Toobox). Wizualizacja wyników obliczeń – proste programy okienkowe (4 godz.).

3. Wybrane zagadnienia algebry wektorów i macierzy: Pojęcie normy wektora i macierzy. Idea uproszczenia rozwiązań układów równań liniowych - układy równań z macierzą trójkątną. Metoda eliminacji Gaussa (warianty, warunki istnienia rozwiązań), algorytmy rozkładów macierzy LU (Metoda Doolittle’a, Crouta). Pojęcie macierzy dodatnio określonej (macierze kowariancji), (2 godz).

4. Układy nad-, niedookreślone - układy równań normalnych (URN). Metody rozwiązań URN: LLT (Choleskiego–Banachiewicza), QR, SVD, Definicja macierzy pseudoodwrotnej, 2 godz.

5. Zadanie własne: Wielomian charakterystyczny, wartość, wektor własny, promień spektralny, rozkład spektralny, podobieństwo macierzy. Metody wyznaczania wartości własnych - prosta, odwrotna potęgowa. Rozwiązanie równania wielomianowego 3, 4 stopnia. Wyznaczanie elips (elipsoid) błędów średnich w oparciu o 2d, 3d macierze kowariancji, (2 godz).

6. Metody iteracyjne: Idea metod iteracyjnych, odwzorowanie zwężające, tw. Stefana Banacha o punkcie stałym. Iteracyjne rozwiązania układów równań liniowych: Jacobiego, Gaussa-Siedla, Richardsona, nadrelaksacji. Warunek konieczny i dostateczny istnienia rozwiązań, 2 godz.

Semestr II:

1. Iteracyjne poszukiwanie miejsc zerowych i rozwiązywanie układów równań nieliniowych: Metoda bisekcji, złotego podziału, siecznych, Steffensena, Newtona. Rozwiązywanie równań i układów nieliniowych - metody Newtona, Levenberga Marquardta, 2 godz.

2. Interpolacja: Interpolacja wielomianowa (tw. Weierstrassa), Czebyszewa, Taylora, Lagrange’a, Hermite’a, trygonometryczna (szeregi Fouriera), wykładnicza, Newtona, Pade. Zjawisko Rungego. Interpolacja funkcjami sklejanymi - sklejki sześcienne, B – splainy. Teselacja (Thiesena), metoda Tin (Delaunay), 2 godz.

3. Aproksymacja: Zadanie aproksymacji liniowej. Aproksymacja średniokwadratowa, układy ortonormalne, macierz Grama, ortogonalizacja Grama-Schmidta (QR, Givensa, Hausholdera). Metody aproksymacji: funkcji wielomianowych, wielomianu ruchomego, minimalnej krzywizny, 2 godz.

4. Całkowanie (różniczkowanie) numeryczne: Zastosowanie interpolacji wielomianowej: metody prostokątów, trapezów, parabol (Simpsona). Metoda Romberga. Kwadratury Gaussa. Całkowanie metodą Monte Carlo (generatory liczb pseudolosowych). 2 godz.

5. Metody minimalizacji: Wyznaczania wartości minimalnych funkcji. Realizacja skryptowa algorytmów: wzdłuż kierunków współrzędnych, gradientu prostego, najszybszego spadku, kierunków sprzężonych, Newtona, Gaussa Newtona, Marquardta (funkcje celu), 2 godz.

6. Przekształcenia: FFT – idea szybkiego przekształcenia Fouriera (algorytm Cooleya Tukeya), widmo gęstości mocy (częstotliwość Nquista). Przekształcenia falkowe - sygnały niestacjonarne. Przekształcenia Hougha, Radona, 2 godz.

7. Wybrane metody filtracji szeregów pomiarowych i obrazów :Filtracja w dziedzinie czasu, przestrzeni - operacja splotu. Filtracja w dziedzinie częstotliwości - twierdzenie o iloczynie transformat, 2 godz.

Ćwiczenia/metody dydaktyczne: ćwiczenia obliczeniowe – prowadzone w formie tradycyjnej (kreda-tablica), oraz problemowej – studenci samodzielnie rozwiązują wybrane zadania geodezji stosując poznane metody numeryczne.

Tematy ćwiczeń

Semestr I:

1. Języki skryptowe: Zapoznanie z możliwościami obliczeniowymi programów języków skryptowych (Scilab, Octave, GMT). Operacje czytania, przetwarzania i zapisu danych. Skrypty, funkcje tworzenia wykresów, zobrazowań 1D, 2D i 3D, 2 godz.

2. Wybrane zadania algebry wektorów i macierzy: Ilustracja działania macierzy na obiekty geometryczne (transformacje geodezyjne). Algorytm pierwiastka macierzowego – skryptowa ilustracja metody Banachiewicza LLT. Wyznaczanie rozkładów macierzy (rozkład biegunowy, LU, QR, SVD). Ilustracja działania rozkładów QR, SVD – faktoryzacja, kompresja, filtracja szumu, 2godz.

3. Metody rozwiązywania układów równań normalnych: (Banachiewicza, /, QR, SVD). Algorytmy wyznaczania macierzy pseudoodwrotnych, skrypty rozwiązań układów obserwacyjnych z macierzami niepełnego rzędu – wyrównanie swobodne, 2 godz.

4. Realizacja skryptów obliczeniowych i funkcji wyznaczania prostych konstrukcji geodezyjnych: wcięcia liniowe (zadanie przecięcia okręgów i sfer), kątowe, kombinowane, zadanie Hansena, Mareka,..., 2 godz.

5. Wizualizacja wyników obliczeń numerycznych: Programy okienkowe prezentacji wyników obliczeń prostych konstrukcji geodezyjnych, wizualizacji działania transformacji geodezyjnych (Octave), 2 godz.

6. Zadanie własne: Algorytm rozwiązania równania 3 stopnia - wzo-ry Cardano (wielomian charakterystyczny). Metody, funkcje wyznaczania wartości i wektorów własnych (Octave, Scilab). Algorytmy wyznaczania krzywej (powierzchni), elipsy (elipsoidy) błędu położenia punktu, elips błędu wzajemnego położenia punktów - zobrazowania. Elementy analizy zniekształceń transformacji geodezyjnych - tensor metryczny transformacji, kierunki główne deformacji, siatka Tissota, 2 godz.

7. Wyznaczanie błędów średnich: Analiza dokładności położenia punktu – metoda biegunowa, ortogonalna, wcięć liniowych, kątowych, kombinowanych, błędy wyznaczania pól powierzchni (z pomiarów liniowych, liniowo kątowych, ze współrzędnych – działki wielokątne), błędy średnie interpolacji wysokości (model TIN, rastrowy NMT), 2 godz.

8. Metody iteracyjne: Konstrukcja algorytmu iteracyjnego (wyznaczanie pierwiastków dowolnego stopnia), algorytmy przeliczania współrzędnych kartezjańskich na geodezyjne (algorytm Hirvonena), iteracyjne wyrównanie wcięć, algorytm metody Gaussa Siedla, 2 godz.

Laboratorium/metody dydaktyczne - prowadzone w formie ćwiczeń laboratoryjnych. Studenci samodzielnie rozwiązują (skrypty) zadania geodezyjne w środowisku wybranych języków skryptowych.

Semestr II:

1. Iteracyjne wyznaczanie miejsc zerowych i rozwiązywanie układów równań nieliniowych: Wykorzystanie algorytmów i funkcji skryptowych do wyznaczania miejsc zerowych funkcji (poszukiwanie pierwiastków wielomianu charakterystycznego). Metody bisekcji, złotego podziału, siecznych, Steffensena, Newtona, 2 godz.

2. Realizacja algorytmu rozwiązywania równań i układów nie-liniowych: metoda Newtona - wyznaczanie wartości przybliżonych parametrów transformacji. Dopasowanie iteracyjną metodą najmniejszych kwadratów wybranej postaci analitycznej funkcji kowariancji, 2 godz.

2. Metody iteracyjne: Ilustracja przestrzennego wcięcia liniowego - wyznaczanie położenia stacji GPS, Przenoszenie współrzędnych – zadnie wprost (metoda średniej szerokości Gaussa), odwrotne, wyznaczanie długości geodezyjnej. (Iteracyjne wyrównanie sieci geodezyjnych), 2 godz.

3. Zapoznanie z możliwościami obliczeniowymi bibliotek: Octave, Matlab, Scilab, GMT. Programy narzędziowe - Geodetic, Transformations, Mapping, Image Processing , GPS, Signal - Toolbox. (program GrassGIS, Quantum, Saga, Surfer), 2godz.

4. Realizacja skryptowa algorytmów interpolacji globalnej: Lagrange’a, Hermite’a, Czebyszewa, trygonometrycznej. Realizacja skryptowa metod interpolacji lokalnej - sklejki sześcienne. Wyznaczenie równań orbity satelitów GPS (dane w formacie SP3) metodą Lagrange’a. Interpolacja lokalna profilu przekroju NMT, Interpolacja warstwic (między warstwicami). Algorytmy interpolacji: dwuliniowej, teselacja (Thiesena), metoda Tin (Delaunay), metoda odwrotnych odległości Sheparda, minimalnej krzywizny, naturalnego sąsiedztwa, wielomianu ruchomego, 2 godz.

5. Całkowanie (różniczkowanie) numeryczne: Obliczanie objętości mas na bazie numerycznego modelu terenu (TIN, rastrowy NMT), budowli ziemnych – nasypy, pryzmy (2 godz).

6. Algorytmy wybranych metod minimalizacji: Wzdłuż kierunków współrzędnych, gradientu prostego, najszybszego spadku, Newtona, Gaussa Newtona, Marquardta (minimalizacja funkcji celu), 2 godz.

7. Przekształcenia, filtracja: Algorytm wyznaczania widma gęstości mocy na bazie szybkiego przekształcenia Fouriera (FFT) - interpretacja. Algorytm filtracji obrazu w dziedzinie przestrzeni i częstotliwości przestrzennych (operacja splotu). Realizacja przekształceń falkowych sygnałów niestacjonarnych. (Przekształcenia Hougha, Radona), 2 godz.

Bilans godzin bezkontaktowych

Semestr I:

- Przygotowanie do ćwiczeń 10 godz.

- Przygotowanie sprawozdań z wydanych tematów ćwiczeń 10 godz.

Semestr II:

- Przygotowanie do ćwiczeń laboratoryjnych 10 godz.

- Przygotowanie sprawozdań z laboratorium 10 godz

Podstawowa:

D.Kincaid, W. Chehey. Analiza numeryczna. WNT 2006.

A. Bjorck, G. Dahlquist: Metody numeryczne, PWN 1987.

Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski: Metody Numeryczne, WNT 2006.

J. Jankowska, M. Jankowski: Przegląd metod i algorytmów numerycznych, tom 1 i 2 WNT, 1981.

E. Nowak, Algorytmy numeryczne w geodezji, 2001.

K. Kroszczyński. Materiały (udostępniane w wersji elektronicznej).

Wiśniewski Z. Algebra macierzy dla geodetów: problemy i zadania. Wydawnictwo ART, 1991.

Introduction to Numerical Methods and Matlab Programming for Engineers, https://www.math.ohiou.edu/courses/math3600/ book.pdf

Uzupełniająca:

E. Osada, Analiza, wyrównanie i modelowanie geodanych, AR Wrocław, 1998

E. Osada, Geodezja (Podręcznik elektroniczny w Mathcadzie), 2002

Z. Adamczewski, Liniowe i nieliniowe algorytmy w geodezji, 2003.

G. Strang , K. Borre, Linear Algebra, Geodesy, and GPS, Wellesley-Cambridge Press, 1998.

Engineering Statistics Handbook, http://www.itl.nist.gov/div898/ handbook/

GPS_Toolbox (https://www.ngs.noaa.gov/gps-toolbox/).

D. Wolf, P. Ghilani, Adjustment computations toolbox. by John Wiley & Sons, Inc. 1997

W1/ Ma wiedzę z zakresu matematyki, w szczególności algebry macierzy, niezbędną do konstruowania algorytmów numerycznych rozwiązywania zagadnień geodezji i kartografii /G1A_W01.

W2/ Ma wiedzę związaną z wybranymi realizacjami numerycznymi zagadnień z zakresu geodezji i kartografii, metodami opracowania wyników pomiarów geodezyjnych i obserwacji /G1A _W03.

W3/ Zna podstawowe techniki programowania (języki skryptowe) stosowane przy rozwiązywaniu prostych zadań inżynierskich z zakresu geodezji i kartografii/ G1A _W07.

U1/ Potrafi korzystać z literatury fachowej dotyczącej metod numerycznych związanej z opracowaniem wyników obserwacji. /G1A _U01.

U2/ Potrafi posługiwać się językami skryptowymi umożliwiającymi realizację zadań typowych dla działalności inżynierskiej w geodezji i kartografii/ G1A _U07.

U3/ Potrafi planować i przeprowadzać proste eksperymenty numeryczne, symulacje komputerowe, interpretować uzyskane wyniki i wyciągać wnioski/ G1A _U08

U4/ Potrafi wykorzystać do formułowania i rozwiązywania zadań inżynierskich metody analityczne, symulacyjne oraz eksperymentalne/ G1A _U09

K1/ Rozumie potrzebę uczenia się przez całe życie; zna możliwości dokształcania się, podnoszenia kompetencji zawodowych, potrafi myśleć w sposób kreatywny, rozumie potrzebę przekazywania swojej wiedzy w sposób zrozumiały, uwzględniający różne aspekty działalności inżynierskiej/ G1A _K01

K2/ Potrafi współdziałać i pracować w grupie; ma świadomość odpowiedzialności za pracę własną oraz wykazuje gotowość podporządkowania się zasadom pracy w zespole i ponoszenia odpowiedzialności za wspólnie realizowane zadania/ G1A _K03

Przedmiot zaliczany jest na podstawie: zaliczenia na ocenę przeprowadzanego w formie pisemnej lub ustnej. Warunkiem dopuszczenia do zaliczenia przedmiotu jest uzyskanie pozytywnych oceny z ćwiczeń i laboratorium po semestrze I i II.

Wykłady

Efekty W1, W2, W3 – są sprawdzane podczas zaliczenia kolokwiów.

Zaliczenie prowadzone są w postaci pytań teoretycznych i problemowych sprawdzających wiedzę wyuczoną oraz poznane metody analizy danych geodezyjnych. Pytania obejmują zakres tematyki kolejnych wykładów oraz mają charakter otwarty. Efekty uznaje się za osiągnięte, jeśli student uzyska minimum 60% punktów. Gradacja ocen:

<60-65 %) – dostateczny

<65–75 %) – dostateczny plus

<75-85%) – dobry

<85-95%) – dobry plus

<95-100%> – bardzo dobry

Ćwiczenia

Podczas ćwiczeń są sprawdzane efekty U1, U2, U3, U4.

Warunkiem zaliczenia ćwiczeń jest: rozwiązanie z wykorzystaniem poznanych metod numerycznych sformułowanych przez prowadzącego zadań geodezyjnych, zdanie sprawozdań z wykonanych prac oraz zaliczenie sprawdzianów kontrolnych.

Efekty oceniane łącznie uznaje się za osiągnięte, jeśli student pozytywnie odpowiedział na pytania sprawdzające zadawane podczas zajęć i poprawnie wykonał wszystkie zadania wraz z prawidłowo wykonanymi sprawozdaniami uzasadniającymi dobór metod, analiz danych oraz poprawnie wyciągniętymi wnioskami. Wytyczne do wykonania zadań podaje prowadzący zajęcia.

Kryteria oceniania:

3.0 – formalnie poprawne wykonanie zadań;

3.5 – dodatkowo student potrafi odpowiedzieć na pytania wyjaśniające dotyczące wykonania zadań;

4.0 – jw. oraz student potrafi wyjaśnić, dlaczego wybrał konkretne rozwiązanie;

4.5 – jw. oraz student potrafi podać rozwiązanie alternatywne i krytycznie ocenić uzyskane wyniki;

5.0 – jw. oraz student potrafi opisowo i graficznie poprawnie udokumentować wykonanie zadania.

Laboratorium

Efekty U1, U2, U3, U4, K1, K2 są sprawdzane podczas ćwiczeń laboratoryjnych na III sem. przedmiotu.

Efekty U1, U2, U3, U4 - na podstawie wykonania zadań ćwiczeniowych.

Efekty K1, K2 – na podstawie wykonanych sprawozdań i w trakcie realizacji laboratoriów.

Warunkiem zaliczenia jest samodzielne (grupowe) wykonanie wskazanych przez prowadzącego zadań i przygotowanie sprawozdań z wykonanych prac oraz zaliczenie sprawdzianów kontrolnych.

Efekty oceniane łącznie uznaje się za osiągnięte, jeśli student pozytywnie odpowiedział na pytania sprawdzające zadawane podczas zajęć i poprawnie wykonał wszystkie zadania wraz z prawidłowo wykonanymi sprawozdaniami uzasadniającymi dobór metod, analiz danych oraz poprawnie wyciągniętymi wnioskami. Wytyczne do wykonania zadań podaje prowadzący zajęcia.

Kryteria oceniania:

3.0 – formalnie poprawne wykonanie zadań;

3.5 – dodatkowo student potrafi odpowiedzieć na pytania wyjaśniające dotyczące wykonania zadań;

4.0 – jw. oraz student potrafi wyjaśnić, dlaczego wybrał konkretne rozwiązanie;

4.5 – jw. oraz student potrafi podać rozwiązanie alternatywne i krytycznie ocenić uzyskane wyniki;

5.0 – jw. oraz student potrafi opisowo i graficznie poprawnie udokumentować wykonanie zadania.