Analiza matematyczna cz. I

stacjonarne

I stopnia

obowiązkowy

W 46 /x ; C 46 /+ ; L /; Razem: 92

Matematyka ze szkoły średniej / Student powinien znać pojęcia, określenia i symbole matematyczne oraz metody rachunkowe objęte podstawą programową z matematyki w zakresie rozszerzonym z logiki, teorii zbiorów, planimetrii, stereometrii, trygonometrii, geometrii analitycznej, funkcji elementarnych, ciągów liczbowych i probabilistyki.

Algebra z geometrią analityczną. Student powinien znać: liczby rzeczywiste i zespolone, podstawowe pojęcia, określenia i twierdzenia algebry liniowej i geometrii analitycznej; rachunek wektorowy i macierzowy, przestrzenie wektorowe, układy liniowych równań algebraicznych i metody ich rozwiązywania.

pierwszy rok (pierwszy semestr) /

Inżynieria kosmiczna i satelitarna / wszystkie specjalności

dr hab. Marek Kojdecki

aktywność / obciążenie studenta w godz.

1. Udział w wykładach / 46

2. Samodzielne studiowanie zagadnień z wykładów / 69

3. Udział w ćwiczeniach rachunkowych / 46

4. Samodzielne rozwiązywanie zadań / 46

5. Udział w egzaminie / 2

Sumaryczne obciążenie pracą studenta: 209 / 7 ECTS

Zajęcia z udziałem nauczycieli: 1.+3.+5. = 94 / 3 ECTS

Zajęcia o charakterze praktycznym: 3.+4. = 92 / 3 ECTS

Przedmiot służy do poznania i zrozumienia przez studentów podstawowych pojęć i twierdzeń matematyki, szczególnie analizy matematycznej, oraz opanowania elementarnych umiejętności rachunkowych z zakresem wiedzy obejmującym: elementarne pojęcia logiki i teorii mnogości, ciągi i szeregi liczbowe, rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, rachunek różniczkowy i całkowy funkcji wielu zmiennych rzeczywistych oraz równania różniczkowe zwyczajne.

Tematy kolejnych wykładów (po dwie godziny lekcyjne):

1. Elementy logiki i teorii zbiorów. Symbole logiczne. Zdania, tautologie, kwantyfikatory. Zbiory liczbowe. Działania na zbiorach. Symbole teorii mnogości.

2. Funkcje elementarne. Określenia i właściwości; funkcja złożona i funkcje odwrotne. Funkcje trygonometryczne. Tożsamości trygonometryczne. Funkcje cyklometryczne. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne, funkcje hiperboliczne.

3. Ciągi liczbowe. Ciągłość i gęstość zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzenia o ciągach liczbowych. Granica ciągu liczbowego. Granice niewłaściwe. Symbole nieoznaczone. Przykłady ciągów, liczba e.

4. Szeregi liczbowe. Określenie szeregu liczbowego. Podstawowe kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność warunkowa i bezwzględna. Przykłady; liczby e i π.

5. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Granica funkcji jednej zmiennej. Podstawowe twierdzenia o granicach funkcji. Właściwości funkcji elementarnych. Asymptoty.

6. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Ciągłość funkcji jednej zmiennej. Podstawowe twierdzenia o funkcjach ciągłych.

7. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Różniczka i pochodna funkcji jednej zmiennej. Podstawowe twierdzenia o pochodnych. Pochodne funkcji elementarnych.

8. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Pochodne i różniczki wyższych rzędów. Twierdzenia o wartości średniej. Wzór Taylora.

9. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Ekstremum lokalne. Wypukłość i wklęsłość funkcji. Punkt przegięcia. Zastosowania pochodnych.

10. Całka nieoznaczona. Określenie całki nieoznaczonej. Całkowanie przez części. Całkowanie przez podstawienie.

11. Całka nieoznaczona. Całkowanie funkcji wymiernych i trygonometrycznych.

12. Całka oznaczona. Określenie całki oznaczonej. Właściwości całki oznaczonej. Związek miedzy całką oznaczoną i nieoznaczoną.

13. Całka oznaczona. Całki niewłaściwe I i II rodzaju. Zastosowania całek oznaczonych.

14. Ciągi i szeregi funkcyjne. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu i szeregu funkcyjnego. Twierdzenia o ciągach i szeregach zbieżnych jednostajnie. Szereg potęgowy; promień i przedział zbieżności, twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu. Szereg Taylora.

15. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych rzeczywistych. Granica i ciągłość skalarnej i wektorowej funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe.

16. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych rzeczywistych. Różniczka i pochodna skalarnej i wektorowej funkcji wielu zmiennych. Wzór Taylora z pierwszą pochodną.

17. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych rzeczywistych. Ekstrema lokalne i ekstrema na zbiorze skalarnej funkcji dwu lub trzech zmiennych.

18. Równania różniczkowe zwyczajne. Określenie równania różniczkowego zwyczajnego rzędów pierwszego i wyższych. Zagadnienie Cauchy’ego. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań. Równania pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych.

19. Równania różniczkowe zwyczajne. Wybrane typy równań pierwszego i drugiego rzędu. Równania liniowe pierwszego rzędu.

20. Równania różniczkowe zwyczajne. Równania liniowe drugiego rzędu, w tym o stałych współczynnikach.

21. Całki wielokrotne. Określenia całki podwójnej i całki potrójnej. Całki iterowane. Całka podwójna i całka potrójna po dowolnym obszarze.

22. Całki wielokrotne. Zamiana zmiennych w całce wielokrotnej. Współrzędne prostokątne, biegunowe, cylindryczne i sferyczne.

23. Całki wielokrotne. Zastosowania całek wielokrotnych.

/ wykład z możliwym wykorzystaniem technik audiowizualnych, podanie zadań do samodzielnego rozwiązania i tematów do studiowania

Ćwiczenia /metody dydaktyczne

Tematy kolejnych zajęć (po dwie godziny lekcyjne):

1. Elementy logiki. Symbole logiczne. Zdania, tautologie, kwantyfikatory.

2. Elementy teorii zbiorów. Zbiory liczbowe. Działania na zbiorach. Symbole teorii mnogości.

3. Funkcje elementarne. Określenia i właściwości; funkcja złożona i funkcje odwrotne. Funkcje trygonometryczne. Tożsamości trygonometryczne. Funkcje cyklometryczne. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne, funkcje hiperboliczne.

4. Ciągi liczbowe. Ciągłość i gęstość zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzenia o ciągach liczbowych. Granica ciągu liczbowego. Granice niewłaściwe. Symbole nieoznaczone. Przykłady ciągów, liczba e.

5. Szeregi liczbowe. Określenie szeregu liczbowego. Podstawowe kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność warunkowa i bezwzględna. Przykłady; liczby e i π.

6. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Granica funkcji jednej zmiennej. Podstawowe twierdzenia o granicach funkcji. Właściwości funkcji elementarnych. Asymptoty.

7. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Ciągłość funkcji jednej zmiennej. Podstawowe twierdzenia o funkcjach ciągłych.

8. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Różniczka i pochodna funkcji jednej zmiennej. Podstawowe twierdzenia o pochodnych. Pochodne funkcji elementarnych.

9. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Pochodne i różniczki wyższych rzędów. Twierdzenia o wartości średniej. Wzór Taylora.

10. Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Ekstremum lokalne. Wypukłość i wklęsłość funkcji. Punkt przegięcia. Zastosowania pochodnych.

11. Całka nieoznaczona. Określenie całki nieoznaczonej. Całkowanie przez części. Całkowanie przez podstawienie.

12. Całka nieoznaczona. Całkowanie funkcji wymiernych i trygonometrycznych.

13. Całka oznaczona. Określenie całki oznaczonej. Właściwości całki oznaczonej. Związek miedzy całką oznaczoną i nieoznaczoną.

14. Całka oznaczona. Całki niewłaściwe I i II rodzaju. Zastosowania całek oznaczonych.

15. Ciągi i szeregi funkcyjne. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu i szeregu funkcyjnego. Twierdzenia o ciągach i szeregach zbieżnych jednostajnie. Szereg potęgowy; promień i przedział zbieżności, twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu. Szereg Taylora.

16. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych rzeczywistych. Różniczka i pochodna skalarnej i wektorowej funkcji wielu zmiennych. Pochodna w kierunku wektora. Wzór Taylora z pierwszą pochodną.

17. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych rzeczywistych. Ekstrema lokalne i ekstrema na zbiorze skalarnej funkcji dwu lub trzech zmiennych.

18. Równania różniczkowe zwyczajne. Określenie równania różniczkowego zwyczajnego rzędów pierwszego i wyższych. Zagadnienie Cauchy’ego. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań. Równania pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych.

19. Równania różniczkowe zwyczajne. Wybrane typy równań pierwszego i drugiego rzędu. Równania liniowe pierwszego rzędu.

20. Równania różniczkowe zwyczajne. Równania liniowe drugiego rzędu, w tym o stałych współczynnikach.

21. Całki wielokrotne. Określenia całki podwójnej i całki potrójnej. Całki iterowane. Całka podwójna i całka potrójna po dowolnym obszarze.

22. Całki wielokrotne. Zamiana zmiennych w całce wielokrotnej. Współrzędne prostokątne, biegunowe, cylindryczne i sferyczne.

23. Całki wielokrotne. Zastosowania całek wielokrotnych.

/ ćwiczenia rachunkowe ułatwiające opanowanie, zrozumienie i usystematyzowanie wiedzy wyniesionej z wykładów i własnych studiów studentów oraz nabycie umiejętności rachunkowych, podanie zadań do samodzielnego rozwiązania i tematów do studiowania, pisemna praca kontrolna

Laboratoria /metody dydaktyczne

Nie przewiduje się.

podstawowa:

R. Leitner, Zarys matematyki wyższej, część I i II, WNT, 1994.

R. Leitner, J. Zacharski, Zarys matematyki wyższej, część III, WNT, 1994.

J. Gawinecki, Matematyka dla informatyków, część I i II, Bell Studio, 2003.

R. Leitner, M. Matuszewski, Z. Rojek, Zadania z matematyki wyższej, część I i II, WNT, 1998.

W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II, PWN, 2002.

uzupełniająca:

W. Leksiński, J. Nabiałek, W. Żakowski, Matematyka. Definicje, twierdzenia, przykłady, zadania, WNT, 1992.

W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część I, WNT, 1995.

W. Stankiewicz, J. Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część II, WNT, 1995.

symbol / efekt kształcenia / odniesienie do efektów kierunku

Student, który zaliczył przedmiot,

W01 – Ma podstawową wiedzę, stanowiącą bazę dla zrozumienia i studiowania przedmiotów kierunkowych, w zakresie rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej oraz rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych rzeczywistych i równań różniczkowych zwyczajnych. Zna symbole i elementarne pojęcia logiki i teorii mnogości. Zna funkcje elementarne. / K_W02

W02 – Zna podstawowe pojęcia, określenia i twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej oraz rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych rzeczywistych i równań różniczkowych zwyczajnych. Zna i rozumie pojęcia ciągu i szeregu liczbowego. Rozumie pojęcia granicy i ciągłości funkcji i funkcji pochodnej. Zna podstawowe sposoby i wzory znajdowania pochodnych. Rozumie pojęcie równania różniczkowego zwyczajnego i jego rozwiązania. Zna podstawowe sposoby znajdowania całek wielokrotnych. / K_W02

U01 – Umie posługiwać się w podstawowym zakresie językiem analizy matematycznej, wykorzystując właściwe symbole i odpowiednie twierdzenia. Umie obliczać granice ciągów, także wyrażeń nieoznaczonych, wykorzystując wzory i twierdzenia. Umie zbadać zbieżność prostych szeregów liczbowych, stosując odpowiednie twierdzenia. Umie obliczać granice i badać ciągłość funkcji jednej zmiennej. Umie znajdować pochodne według określenia i z wykorzystaniem wzorów i twierdzeń. Umie obliczać proste całki nieoznaczone, stosując odpowiednie twierdzenia i wzory, w tym całki funkcji wymiernych. Umie obliczać proste całki oznaczone. Umie obliczać granice i badać ciągłość funkcji wielu zmiennych. Umie obliczać pochodne cząstkowe. Umie obliczać proste całki podwójne i potrójne. Umie rozwiązywać proste równania różniczkowe zwyczajne./ K_U11, K_U17

U02 – Umie formułować i rozwiązywać proste problemy z wykorzystaniem rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej i rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych rzeczywistych. / K_U11, K_U17

U03 – Potrafi pozyskiwać informacje z literatury, baz danych i innych źródeł (także anglojęzycznych); potrafi interpretować uzyskane informacje i formułować wnioski. Ma wyrobioną wewnętrzną potrzebę i umiejętność ustawicznego uzupełniania i nowelizacji nabytej wiedzy poprzez samokształcenie. / K_U03

K01 – Rozumie potrzebę ciągłego dokształcania się i odświeżania wiedzy, w szczególności związanej ze złożoną strukturą matematyki. / K_K01

Przedmiot zaliczany jest na podstawie egzaminu

sprawdzającego wiedzę (W01 i W02) i umiejętności (U01 i U02).

Egzamin przeprowadzany jest w formie pisemnej lub pisemnej i ustnej.

Warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest zaliczenie ćwiczeń.

Ćwiczenia zaliczane są na podstawie wyników prac kontrolnych przeprowadzanych pod bezpośrednią kontrolą podczas zajęć (U01, U02, W01, W02) lub w formie zadań do samodzielnego rozwiązania (U01, U02, U03).

Dodatkowo studenci otrzymują wskazówki do samodzielnego studiowana z zachętą do korzystania z różnorodnych źródeł wiedzy (U03 i K01).

Skala ocen: dostatecznie (3) – student zna i rozumie większość wyłożonych zagadnień, umie rozwiązywać najprostsze zadania rachunkowe, rozumie treść najważniejszych twierdzeń; dobrze (4) – student zna i rozumie znaczną większość wyłożonych zagadnień, umie formułować i rozwiązywać najprostsze zadania rachunkowe oraz interpretować ich wyniki za pomocą twierdzeń; bardzo dobrze (5) – student zna i rozumie wszystkie wyłożone zagadnienia, umie formułować i rozwiązywać zadania rachunkowe oraz interpretować ich wyniki za pomocą twierdzeń; dość dobrze (3,5) i ponad dobrze (4,5) – pośrednio między dostatecznie i dobrze oraz między dobrze i bardzo dobrze.