Analiza matematyczna

stacjonarne

II stopnia

obowiązkowy

realizowane formy zajęć: W – wykład, C –- ćwiczenia audytoryjne, L –

ćwiczenia laboratoryjne, P – ćwiczenia projektowe, S – seminarium;

rygor: x – egzamin, + – zaliczenie na ocenę, z – zaliczenie ogólne

Studia stacjonarne: W 30 /x; C 30 /+; L 0 /+; razem: 60 godzin, 4 punkty ECTS

Matematyka 1 (ze studiów pierwszego stopnia). / Student powinien znać:

symbole i elementarne pojęcia logiki i teorii mnogości; funkcje elementarne;

liczby rzeczywiste i zespolone; podstawowe pojęcia, określenia i twierdzenia

algebry liniowej i geometrii analitycznej; rachunek wektorowy i macierzowy,

przestrzenie wektorowe, układy liniowych równań algebraicznych i metody ich

rozwiązywania; analityczne konstrukcje prostych i płaszczyzn; krzywe i

powierzchnie drugiego stopnia.

Matematyka 2 (ze studiów pierwszego stopnia). / Student powinien znać:

symbole, określenia, twierdzenia i przykłady dotyczące ciągów i szeregów

liczbowych, rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej

rzeczywistej oraz rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych. Student

powinien umieć obliczać granice ciągów i funkcji jednej zmiennej, znajdować

pochodne i całki oznaczone i nieoznaczone oraz znajdować pochodne

cząstkowe.

Matematyka 3 (ze studiów pierwszego stopnia). / Student powinien znać:

symbole, określenia, twierdzenia i przykłady dotyczące rachunku

różniczkowego i całkowego funkcji wielu zmiennych, równań różniczkowych

zwyczajnych oraz pojęć prawdopodobieństwa, zmiennej losowej i rozkładu

prawdopodobieństwa. Student powinien umieć obliczać całki wielokrotne i

prawdopodobieństwa zdarzeń losowych.

semestr studiów / kierunek studiów / specjalność

pierwszy semestr / optoelektronika / wszystkie specjalności

dr hab. Marek Kojdecki

realizowane formy zajęć: W – wykład, C –- ćwiczenia audytoryjne, L –

ćwiczenia laboratoryjne, P – ćwiczenia projektowe, S – seminarium;

rygor: x – egzamin, + – zaliczenie na ocenę, z – zaliczenie ogólne

Studia stacjonarne: W 30 /x; C 30 /+; L 0 /+; razem: 60 godzin, 4 punkty ECTS

Przedmiot służy do poznania i zrozumienia przez studentów podstawowych

pojęć i twierdzeń wybranych działów matematyki oraz opanowania

elementarnych umiejętności rachunkowych z zakresem wiedzy obejmującym:

funkcje zmiennej zespolonej; rachunek operatorowy oparty na przekształceniu

Laplace'a; równania różniczkowe cząstkowe.

Wykład / metody dydaktyczne

(treści programowe)

Tematy kolejnych wykładów (po dwie godziny lekcyjne):

1. Funkcje zmiennej zespolonej. Ciało liczb zespolonych. Wielomiany

zespolone. Zbiory liczb zespolonych. Ciągi i szeregi liczbowe o wyrazach

zespolonych.

2. Funkcje zmiennej zespolonej. Ciągi i szeregi liczbowe o wyrazach

zespolonych. Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej i zmiennej

zespolonej.

3. Funkcje zmiennej zespolonej. Granica, ciągłość, pochodna funkcji

zmiennej zespolonej. Funkcje holomorficzne. Szeregi potęgowe.

4. Funkcje zmiennej zespolonej. Całki funkcji zmiennej zespolonej. Wzory

całkowe.

5. Funkcje zmiennej zespolonej. Szeregi Taylora i Laurenta.

6. Funkcje zmiennej zespolonej. Residua. Zastosowania do obliczania

całek.

7. Rachunek operatorowy oparty na przekształceniu Laplace'a. Proste

i odwrotne przekształcenie Laplace’a. Pojęcie oryginału, właściwości

transformaty.

8. Rachunek operatorowy oparty na przekształceniu Laplace'a.

Zastosowania przekształcenia Laplace'a do rozwiązywania równań

różniczkowych zwyczajnych. Rachunek operatorowy.

9. Szeregi Fouriera. Ciągi i szeregi funkcyjne; określenia, zbieżność

punktowa i jednostajna. Szereg Fouriera.

10. Równania różniczkowe cząstkowe. Przykłady równań różniczkowych

cząstkowych drugiego rzędu w postaci kanonicznej. Pojęcie zagadnienia

granicznego. Rodzaje i przykłady zagadnień granicznych. Poprawność

postawienia zagadnienia.

11. Równania różniczkowe cząstkowe. Równanie falowe. Mieszane

zagadnienie graniczne: równanie drgań ograniczonej struny i metoda

rozdzielenia zmiennych.

12. Równania różniczkowe cząstkowe. Równanie falowe. Fale

w przestrzeniach jedno-, dwu- i trójwymiarowej.

13. Równania różniczkowe cząstkowe. Równanie dyfuzji i przewodnictwa

cieplnego. Przykłady zagadnień początkowych z rozwiązaniami.

14. Równania różniczkowe cząstkowe. Równanie dyfuzji i przewodnictwa

cieplnego. Metoda rozdzielenia zmiennych i przykłady mieszanych

zagadnień granicznych z rozwiązaniami.

15. Równania różniczkowe cząstkowe. Równania Laplace’a i Poissona.

Zagadnienia Dirichleta i Neumanna. Potencjały. Właściwości funkcji

harmonicznych.

/ wykład z możliwym wykorzystaniem technik audiowizualnych, podanie zadań

do samodzielnego rozwiązania i tematów do studiowania

Ćwiczenia / metody dydaktyczne

Tematy kolejnych zajęć (po dwie godziny lekcyjne):

1. Funkcje zmiennej zespolonej. Ciało liczb zespolonych. Wielomiany

zespolone. Zbiory liczb zespolonych. Ciągi i szeregi liczbowe o wyrazach

zespolonych.

2. Funkcje zmiennej zespolonej. Ciągi i szeregi liczbowe o wyrazach

zespolonych. Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej i zmiennej

zespolonej.

3. Funkcje zmiennej zespolonej. Granica, ciągłość, pochodna funkcji

zmiennej zespolonej. Funkcje holomorficzne. Szeregi potęgowe.

4. Funkcje zmiennej zespolonej. Całki funkcji zmiennej zespolonej. Wzory

całkowe.

5. Funkcje zmiennej zespolonej. Szeregi Taylora i Laurenta.

6. Funkcje zmiennej zespolonej. Residua. Zastosowania do obliczania

całek.

7. Rachunek operatorowy oparty na przekształceniu Laplace'a. Proste i

odwrotne przekształcenie Laplace’a. Pojęcie oryginału, właściwości

transformaty.

8. Rachunek operatorowy oparty na przekształceniu Laplace'a.

Zastosowania przekształcenia Laplace'a do rozwiązywania równań

różniczkowych zwyczajnych. Rachunek operatorowy.

9. Szeregi Fouriera. Ciągi i szeregi funkcyjne; określenia, zbieżność

punktowa i jednostajna. Szereg Fouriera.

10. Równania różniczkowe cząstkowe. Przykłady równań różniczkowych

cząstkowych drugiego rzędu w postaci kanonicznej. Pojęcie zagadnienia

granicznego. Rodzaje i przykłady zagadnień granicznych. Poprawność

postawienia zagadnienia.

11. Równania różniczkowe cząstkowe. Równanie falowe. Mieszane

zagadnienie graniczne: równanie drgań ograniczonej struny i metoda

rozdzielenia zmiennych.

12. Równania różniczkowe cząstkowe. Równanie falowe. Fale

w przestrzeniach jedno-, dwu- i trójwymiarowej.

13. Równania różniczkowe cząstkowe. Równanie dyfuzji i przewodnictwa

cieplnego. Przykłady zagadnień początkowych z rozwiązaniami.

14. Równania różniczkowe cząstkowe. Równanie dyfuzji i przewodnictwa

cieplnego. Metoda rozdzielenia zmiennych i przykłady mieszanych

zagadnień granicznych z rozwiązaniami.

15. Równania różniczkowe cząstkowe. Równania Laplace’a i Poissona.

Zagadnienia Dirichleta i Neumanna. Potencjały. Właściwości funkcji

harmonicznych.

/ ćwiczenia rachunkowe ułatwiające opanowanie, zrozumienie

i usystematyzowanie wiedzy wyniesionej z wykładów i własnych studiów

studentów oraz nabycie umiejętności rachunkowych, podanie zadań do

samodzielnego rozwiązania i tematów do studiowania, pisemna praca

kontrolna

podstawowa:

R. Leitner, Zarys matematyki wyższej, część I i II, WNT, 1994.

R. Leitner, J. Zacharski, Zarys matematyki wyższej, część III, WNT, 1994.

Z. Rojek, Funkcje analityczne w zadaniach, skrypt WAT, 1971.

Z. Domański, Przekształcenia całkowe w zadaniach, skrypt WAT, 1973.

J. Gawinecki, Matematyka dla informatyków, część I i II, Bell Studio, 2003.

W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II,

PWN, 2002.

uzupełniająca:

W. Leksiński, J. Nabiałek, W. Żakowski, Matematyka. Definicje, twierdzenia,

przykłady, zadania, WNT, 1992.

F. Leja, Funkcje zespolone, PWN, 1976.

J. Krzyż, Zbiór zadań z funkcji analitycznych, PWN, 2005.

R. Leitner, M. Matuszewski, Z. Rojek, Zadania z matematyki wyższej, część

I i II, WNT, 1998.

W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych,

część I, WNT, 1995.

W. Stankiewicz, J. Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni

technicznych, część II, WNT, 1995.

symbol / efekt uczenia się / odniesienie do efektów kierunku

Student, który zaliczył przedmiot,

W01 – Ma wiedzę, stanowiącą bazę dla zrozumienia i studiowania

przedmiotów kierunkowych, w zakresie analizy matematycznej. Zna

podstawowe właściwości funkcji zmiennej zespolonej. Zna symbole,

podstawowe pojęcia, określenia i twierdzenia rachunku różniczkowego

i całkowego funkcji zmiennej zespolonej. Zna określenie i podstawowe

właściwości przekształcenia Laplace'a i zasady rachunku

operatorowego. Zna przykłady i podstawowe właściwości rozwiązań

zagadnień granicznych dla wybranych równań różniczkowych

cząstkowych drugiego rzędu: falowego, dyfuzji, Laplace'a i Poissona. /

K_W02

W02 – Rozumie pojęcia granicy, ciągłości, różniczkowalności i całki funkcji

zmiennej zespolonej. Zna podstawowe sposoby i wzory znajdowania

pochodnych oraz całek funkcji zespolonych. Zna wybrane metody

rozwiązywania najprostszych zagadnień granicznych dla liniowych

równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu o stałych

współczynnikach – falowego i przewodnictwa cieplnego. / K_W02

U01 – Umie stosować rachunek różniczkowy i całkowy funkcji zespolonych do

rozwiązywania zadań. Umie rozwiązywać zagadnienia początkowe dla

równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą przekształcenia

Laplace'a. Umie formułować i rozwiązywać najprostsze zagadnienia

graniczne dla równań różniczkowych cząstkowych – falowego

i przewodnictwa cieplnego. / K_U02, K_U07

U02 – Umie formułować i rozwiązywać proste problemy z wykorzystaniem

funkcji zmiennej zespolonej i równań różniczkowych cząstkowych. /

K_U02, K_U07

U03 – Potrafi pozyskiwać informacje z literatury, baz danych i innych źródeł

(także anglojęzycznych); potrafi interpretować uzyskane informacje

i formułować wnioski. / K_U03

K01 – Rozumie potrzebę ciągłego dokształcania się i odświeżania wiedzy,

w szczególności związanej ze złożoną strukturą matematyki. / K_K01

Przedmiot zaliczany jest na podstawie egzaminu

sprawdzającego wiedzę (W01 i W02) i umiejętności (U01 i U02).

Egzamin przeprowadzany jest w formie pisemnej lub pisemnej i ustnej.

Warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest zaliczenie ćwiczeń rachunkowych.

Ćwiczenia zaliczane są na podstawie wyników prac kontrolnych

przeprowadzanych pod bezpośrednią kontrolą podczas zajęć (U01, U02, W01,

W02) oraz w formie zadań do samodzielnego rozwiązania (U01, U02, U03). Dodatkowo punktowana jest aktywnośc na zajęciach.

Dodatkowo studenci otrzymują wskazówki do samodzielnego studiowana

z zachętą do korzystania z różnorodnych źródeł wiedzy (U03).

Skala ocen: dostatecznie (3) – student zna i rozumie większość wyłożonych

zagadnień, umie rozwiązywać najprostsze zadania rachunkowe, rozumie treść

najważniejszych twierdzeń; dobrze (4) – student zna i rozumie znaczną

większość wyłożonych zagadnień, umie formułować i rozwiązywać najprostsze

zadania rachunkowe oraz interpretować ich wyniki za pomocą twierdzeń;

bardzo dobrze (5) – student zna i rozumie wszystkie wyłożone zagadnienia,

umie formułować i rozwiązywać zadania rachunkowe oraz interpretować ich

wyniki za pomocą twierdzeń; dość dobrze (3,5) i ponad dobrze (4,5) –

pośrednio między dostatecznie i dobrze oraz między dobrze i bardzo dobrze.

Studenci mogą być zwolnieni na własną prośbę z egzaminu oraz przepisaną ocenę z ćwiczeń.